Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa

1 Giới thiệu

Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, nhưng để đảm bảo tính an toàn của việc chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành một chiến lược quan trọng.

Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 1 là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 2 là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn có rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, trường nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và những phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy tìm về thập niên 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, trường nhị phân đã được áp dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:

• Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2128;

• Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần thao tác trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán đại diện trace trong STARKs, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.

Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thực hiện việc biểu diễn cùng một dữ liệu bằng hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến) thay vì đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" (hypercubes) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông (square), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.

2 Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle tương tác đa thức thông tin lý thuyết (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, khiến người xác minh có thể xác minh tính chính xác của tính toán chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem đẳng thức đa thức do PIOP tạo ra có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh ứng dụng khác nhau.

Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập được tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để thực hiện đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những sự kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập tin cậy hay không, cũng như có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của mình (PIOP) đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra sự nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và các hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 Trường hữu hạn: Toán tử dựa trên các tháp của các trường nhị phân

Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Ngoài ra, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc tính này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.

Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp thành một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng một cách duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự thuận lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt (như được sử dụng trong AES), giảm Montgomery (như được sử dụng trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng trong miền nhị phân, cả phép cộng và phép nhân đều không cần phải đưa vào phần bù, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc tính này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép nghịch đảo trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tích thành miền con m bit).

2.2 PIOP: Phiên bản cải biên sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ áp dụng cho trường nhị phân

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:

1. GateCheck: Xác minh chứng minh bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.

2. PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.

3. LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck: kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố ∑x∈Hµ f(x) = s hay không. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều ví dụ kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa biến đa thức để nâng cao hiệu quả của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi nơi trên siêu khối và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.

• Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP: lập luận dịch đa tuyến tính mới------áp dụng cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có thể tạo ra và thao tác hiệu quả với các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:

• Packing: Phương pháp này thông qua việc đưa các phần tử nhỏ hơn ở vị trí liền kề trong thứ tự từ điển.