DEXと金利オペレーター設計における線形および非線形取引モデルの考察

分散型取引所(DEX)の開発および金利オペレーターの設計において、本質的には取引オペレーターの設計を行っています。これらのオペレーターは線形であったり非線形であったりすることがあります。しかし、この違いは多くの人にとって理解しにくいものです。

線形取引モデルは通常、均衡価格理論に基づいており、市場にアービトラージの機会がないと仮定しています。この場合、合理的な金融取引はすべて線形であるべきです。非線形の結果が生じると、価格が付けられない資産の組み合わせやアービトラージの機会が存在する可能性があります。そのため、オラクルを使用した取引モデルは原則として線形取引演算子を採用するべきであり、さもなければアービトラージに引っかかりやすくなります。別の視点から見ると、完全市場と価格付けが有効な場合、線形取引演算子だけがアービトラージを防ぐことができます。

しかし、線形モデルにも限界があります。それは、どのプールも平等であり、この演算子はトークン化できないことを意味します。なぜなら、コピー後は完全に同じだからです。これにより、オンチェーンで価値をキャッチしたりトークン化を実現したりすることが難しくなります。なぜなら、これらの取引は本質的に単純な線形変換であり、どの契約においても等価だからです。

対照的に、非線形取引オペレーターは、価格設定、取引、価値の沈殿（トークン化）という3つの目標を同時に達成しようとしています。非線形オペレーターは、規模に関連する自己強化属性を持つように設計でき、価値を沈殿させることができます。しかし、これにはいくつかの問題も伴います：

1. 市場が徐々に整備されると、非線形取引オペレーターは本質的にごく小さな取引規模の中で線形オペレーターをフィッティングします。
2. 市場が不完全な場合、この非線形取引オペレーターの設計は、そのコストと効率が十分に合理的ですか？
3. 非線形の価値入力は誰が提供するのか？この価値入力は線形取引オペレーターの競争の下で徐々に失われるのか？

多くの自動マーケットメイカー(AMM)は、固定積の取引モデル（例えばXY=K）を採用しており、これは典型的な規模に関連する非線形取引オペレーターです。マーケットメーカーのプールが十分に大きい場合にのみ、局所的な線形取引のシミュレーションが可能になります。AMMの取引対象が完全市場である場合、その核心的な意味はスケール効果後のフィッティングの有効性にあります。

しかし、価格設定権を完全にチェーン上に置くことは、錯覚である可能性があります。市場が完備しているとき、中央集権型取引所の利点は非常に明確です。チェーン上のすべての行動はオークション後の産物であり、これは価格取引サービスの需要と大きなギャップがあります。不完全な市場（例えば、テール資産や新プロジェクト）においては、核心的な需要は迅速かつ低コストで価格を形成し、大量の取引を完了することです。

非線形取引オペレーターが直面するもう一つの課題は、オラクル（価格オペレーター）の線形取引モデルとの競争に耐えなければならないことです。取引効率の面で、オラクル下の取引オペレーターは非線形取引オペレーターを遥かに上回ります。

価値入力の観点から見ると、非線形取引オペレーターは、完全な市場において均衡価格の変動によるアービトラージ損失を補償するために大量の小口取引を必要とし、この制約条件は非常に厳しいです。一方で、高度に不完全な市場では、任意の非線形オペレーターが取引需要を実現でき、重要なのはできるだけ多くの取引を完了することです。

総じて、取引オペレーターの非線形化は必ずしも価値のある方向性とは限りません。オンチェーンで分散型価値を蓄積するプロトコル群において、非線形取引オペレーターは私たちが追求すべき種類の非線形オペレーターではないかもしれません。

注目すべきは、金利算子が特別な取引算子として、金利アービトラージの困難さから、現在のブロックチェーン上の金利市場が十分に発展していない状況において、非線形算子を用いて金利を価格付けすることに一定の価値があるかもしれないが、これはより一時的な対策であり、本質的な革新ではないということです。

未来、非線形取引オペレーターの改善には、再帰情報の導入が必要になるかもしれません。つまり、歴史的な取引情報から価値のある成分を捉えて、アービトラージリスクを低減することです。この方向性については、現在市場研究が少ないですが、再帰オペレーターと非線形取引オペレーターの組み合わせに基づいて、現在のDEXの無常損失などの問題を低減できることに気づいている人もいます。